Смешанные числа

В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.

Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.

Смешанные числа так же, как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждую из этих операций по отдельности.

Сложение целого числа и правильной дроби

Встречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби  . Затем сложить дроби с разными знаменателями:

А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь  соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что  это свёрнутая форма записи смешанного числа, а  — развёрнутая.

Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.

Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.

Значит значение выражения равно 

Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:

Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:

Пример 3. Найти значение выражения 

Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби  можно выделить целую часть.

Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби  . Пять вторых это две целых и одна вторая:

Теперь в главном выражении  вместо дроби  запишем смешанное число 

Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число  запишем в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:

Теперь свернём полученное смешанное число:

Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:

Сложение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.

Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:

Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:

Получили   . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь

Теперь свернем полученное смешанное число:

Таким образом, значение выражения  равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:

Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:

Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.

Пример 2. Найти значение выражения

Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:

Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:

Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8

Теперь вычислим дробные части:

Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число 

Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа  . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:

Сложим целые части. Получаем 9

Сворачиваем готовый ответ:

Таким образом, значение выражения  равно .

Полное решение этого примера выглядит следующим образом:

Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:

Чтобы сложить смешанные числа, надо:

• привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
• отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.

Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.

Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.

Пример 3. Найти значение выражения 

Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:

Сложение целого и смешанного числа

Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:

Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .

Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:

Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть   представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:

Вычитание дроби из целого числа

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби  , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения .

Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:

Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.

Представим, что число 3 это три пиццы:

Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:

Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть

Получилось  (две целых и две трети пиццы).

Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения  обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:

Пример 3. Найти значение выражения

Представим число 3 в виде дроби . Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Вычитание смешанного числа из целого числа

Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .

Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа  в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа   в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:

Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.

К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)

Тогда от той пиццы, от которой отрезали  останется  пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:

Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.

Вычитание смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения:

Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа  и  перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:

Если от трёх целых пицц вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа и в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:

К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.

А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.

Умножение целого числа на дробь

Любое целое число можно умножить на дробь. Для этого достаточно умножить это число на числитель дроби.

Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби

В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:

Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:

Пример 2. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби 

В ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.

Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:

Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:

Пример 3. Найти значение выражения

Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:

Пример 4. Найти значение выражения

Умножим число 3 на числитель дроби 

Умножение смешанного числа на дробь

Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.

Пример 1. Найти значение выражения 

Переведём смешанное число  в неправильную дробь. После перевода это число превратится в дробь . Затем можно будет умножить эту дробь на 

Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Умножить эти куски на  означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:

Теперь если мы возьмем  (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:

Поэтому значение выражения  было равно 1

Умножение смешанных чисел

Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить  и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:

Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:

Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще  раза.

С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:

Но ещё осталось взять  от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:

Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является  пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:

А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:

Деление целого числа на дробь

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.

Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь  — делитель.

Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь 

Допустим, имеются три целые пиццы:

Если мы зададим вопрос «cколько раз  (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».

Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:

Поэтому значение выражения  равно 6.

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь 

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз  пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим 

Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 3. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби  это дробь . Поэтому умножаем число 5 на 

Дробь  это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:

А выражение  определяет сколько раз  содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .

То есть  пиццы содержится в пяти целых пиццах  раза.

Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по 

Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой  от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в  пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:

Поэтому значение выражения  равно 

Деление дроби на целое число

Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.

Пример 1. Разделим дробь  на число 2

Чтобы разделить дробь  на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь 

Пусть имеется половина пиццы:

Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения 

Чтобы решить этот пример, нужно дробь  умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Пример 3. Найти значение выражения

Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь

Деление целого числа на смешанное число

Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .

Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.

Переведём делитель  в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби  это дробь

Допустим, имеются две целые пиццы:

Зададим вопрос «Сколько раз  (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.

В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:

А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения

Переводим делитель  в неправильную дробь, получаем . Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби  это дробь 

Сначала мы получили ответ , затем сократили эту дробь на 5, и получили , но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ

Деление смешанного числа на целое число

Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.

Например, разделим  на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое  перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.

Переведём смешанное число  в неправильную дробь, получим .

Теперь умножаем  на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь

Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:

Разделим это количество пиццы поровну на две части. Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:

Затем разделим поровну на две части и половину:

Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по  пиццы в каждой группе:

Поэтому значение выражения  равно 

Пример 2. Найти значение выражения 

Переведём делимое в неправильную дробь, получим . Теперь умножаем  на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь .

Деление смешанных чисел

Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.

Пример 1. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь  нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь .

Дорешаем данный пример до конца:

Допустим, имеются две целые и половина пиццы:

Если зададим вопрос «Сколько раз  (одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:

Пример 2. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:

Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь

Сначала мы получили дробь. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби  целую часть. В результате получили окончательный ответ .

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 2. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 3. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 4. Найдите значение выражения:

Решение:

Задание 5. Найдите значение выражения:

Решение: