Разложение квадратного трёхчлена на множители

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax2 + bx c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax2 + bx c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x1 и x2 следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(− x1)(− x2)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax2 + bx c = a(− x1)(− x2)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x2 − 8+ 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x2 − 8+ 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Итак, x1 = 6, x2 = 2. Теперь воспользуемся формулой ax2 + bx c = a(− x1)(− x2). В левой части вместо выражения ax2 + bx c напишем свой квадратный трёхчлен x− 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае = 1, x1 = 6, x2 = 2

x− 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x− 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен x− 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x2 − 6− 2+ 12 = x2 − 8+ 12

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x2 − 14+ 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x2 − 14+ 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Итак, x1 = 4, x2 = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x2 − 14+ 24 к выражению a(− x1)(− x2), где вместо переменных a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения. В данном случае = 2

2x2 − 14+ 24 = 2(− 4)(− 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x2 − 14+ 24

2(− 4)(− 3) = 2(x2 − 4−3+ 12) = 2(x2 − 7+ 12) = 2x2 − 14+ 24

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

x2 + bx c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Тогда приведённый квадратный трехчлен x2 + bx c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x1 + x2 = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x2 + bx c

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Раскроем скобки там где этого можно:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Из первых скобок вынесем общий множитель x, из вторых скобок — общий множитель −x2

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Далее замечаем, что выражение (− x1) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Мы пришли к тому, что выражение x2 + bx c стало равно (− x1)(− x2)

x2 + bx c = (− x1)(− x2)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент a

ax2 + bx c = a(− x1)(− x2)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax2 + bx = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax2 + bx = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax2 + bx c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства Разложение квадратного трёхчлена на множители и Разложение квадратного трёхчлена на множители

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax2 + bx c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax− ax2 и ax1x2, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax2

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Далее замечаем, что выражение x − x1 тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Мы пришли к тому, что выражение ax2 + bx c стало равно a(− x1)(− x2)

ax2 + bx c = a(− x1)(− x2)

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(− x1)(− x2) вместо переменных x1 и x2.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x1 и x2. Например, квадратный трёхчлен x2 + 4+ 4 имеет только один корень −2

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x1 и x2. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (+ 2)2 поскольку выражение (+ 2)(+ 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (+ 2)

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x2 − 2− 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x2 − 2− 1, а в правой части — его разложение в виде a(− x1)(− x2), где вместо a, x1 и x2 подстáвим соответствующие значения:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3 − 11x + 6x2

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x2 − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Воспользуемся формулой разложения:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Воспользуемся формулой разложения:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x2 − 8k содержит множитель (− 2)

Если разложение содержит множитель (− 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x1

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби Разложение квадратного трёхчлена на множители, а произведение корней — дроби Разложение квадратного трёхчлена на множители

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Выразим из первого равенства переменную x2 и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x2

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим Разложение квадратного трёхчлена на множители. Если поменять местами сомножители, то получится Разложение квадратного трёхчлена на множители. То есть коэффициент a станет равным Разложение квадратного трёхчлена на множители

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Воспользуемся формулой разложения:

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Решение:
Разложение квадратного трёхчлена на множители

Предыдущая

Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Добавить комментарий

1 + девять =

Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить