Медиана – это один из уникальных отрезков треугольника. Медиана имеет ряд свойств полезных для решения задач, а точка пересечения медиан еще больше расширяет список этих свойств. О точке пересечения медиан и ее свойствах и пойдет речь сегодня.
Медиана
Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой отрезка противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая зовется точкой пересечения медиан.
Медианы, в отличие от высот, всегда лежат внутри треугольника. Это логично, ведь отрезок медианы соединяет вершину и середину стороны. А середина стороны всегда лежит внутри треугольника.
Рис. 1. Медианы в тупоугольном треугольнике.
Если соединить два любых основания медиан отрезком, то получится средняя линия треугольника. Три средние линии треугольника образуют треугольник, подобный изначальному с коэффициентом подобия 1:2
Есть еще одно любопытное свойство медиан, которое позволит не запутаться при построении золотого сечения треугольника. Медиана в треугольнике всегда располагается между высотой и биссектрисой.
Рис. 2. Золотое сечение произвольного треугольника.
Приведем так же формулу вычисления длины медианы по трем сторонам. Эта формула часто используется при решении задач, а потому ее желательно запомнить.
$$m_c={{sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}over{2}}$$
Зачастую ученикам проще запомнить словесную формулировку, а не заучивать формулу. Чтобы найти медиану по трем сторонам, нужно взять корень из сумм удвоенных квадратов сторон минус квадрат стороны, к которой проведена медиана. Полученный корень нужно поделить пополам.
Точка пересечения медиан
Точка пересечения медиан является одной из 3 замечательных точек треугольника, которые составляют золотое сечение треугольника.
Точка пересечения медиан треугольника имеет ряд свойств, полезных при решении задач:
- Медиана точкой пересечения делится на отрезки с коэффициентом пропорциональности 1:2 считая от вершины.
- Три медианы, проведенные в треугольнике, делят его на 6 равновеликих треугольников. Равновеликими называют треугольники с равной площадью. Сами по себе эти фигуры имеют мало общего, но численная характеристика площади у них совпадает.
- Точка пересечения медиан в треугольнике называется центроидом и является центром тяжести треугольника.
Точка пересечения медиан единственная из золотого сечения треугольника, имеет реальный физический смысл. Если из картона вырезать треугольник, тонким карандашом провести в нем медианы, то точка их пересечения будет центром тяжести плоской фигуры.
Рис. 3. Центр тяжести треугольника.
Это значит, что если установить иголку в эту точку, то фигура будет держаться на ней без прокола, исключительно за счет равновесия.
Что мы узнали?
Мы привели формулу вычисления медианы по 3 сторонам треугольника. Привели несколько свойств точки пересечения медиан в треугольнике. Поговорили о реальном физическом значение центроида треугольника.
Предыдущая
