Длина медианы правильного треугольника – формула, примеры

Медиана – это один из характеризующих отрезков треугольника, наравне с биссектрисой и высотой. Особую сложность у учеников часто вызывают задачи на нахождение медианы. В обычном случае приходится применять формулу, но для правильного треугольника можно вывести упрощенную версию нахождения медианы.

Длина медианы правильного треугольника – формула, примеры

Необходимые данные

Для вывода формул потребуется вспомнить несколько теоретических выкладок:

  • Медиана это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
  • В равнобедренном треугольнике, медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. А правильный треугольник это частный случай равнобедренного треугольника, у которого основанием может выступать любая из сторон. Значит каждая медиана равностороннего треугольника будет совпадать с соответствующей биссектрисой и высотой.
  • В правильном треугольнике все стороны равны, а каждый из углов равен 60 градусам.

Нахождение медианы по общей формуле

Для начала воспользуемся общей формулой. Вспомним формулу длины медианы через длины сторон треугольника:

Длина медианы правильного треугольника – формула, примеры

Рис. 1. Медиана в правильном треугольнике.

$$m_c={{sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}over{2}}$$

Но в правильном треугольнике все стороны равны между собой:

a=b=c

Подставим условия равенства в формулу и приведем подобные слагаемые:

$$m_c={{sqrt{2a^2+2а^2-а^2}}over{2}}$$

$$m_c={{sqrt{3a^2}}over{2}}$$

Значение $ {a^2} $ можно вынести за пределы корня. Тогда:

$$m_c={{sqrt{3a^2}}over{2}}$$

$$m_c={{sqrt{3}}over{2}*а}$$

Нахождением медианы через теорему Пифагора

Теперь попробуем вывести ту же формулу через теорему Пифагора.

В имеющемся правильном треугольнике АВС проведем медиану АМ. Она совпадет с биссектрисой и высотой. Тогда по теореме Пифагора из треугольника АВМ найдем сторону АМ, которая и будет являться медианой большого треугольника.

Длина медианы правильного треугольника – формула, примеры

Рис. 2. Рисунок к задаче.

$$АМ=sqrt{AB^2-BM^2}$$

Но все стороны треугольника равны, а точка М является серединой стороны ВС. Значит:

$$АВ=а$$

$$ВМ={1over2}BC={1over2}a$$

Подставим эти значения в начальную формулу:

$$АМ={sqrt{AB^2-BM^2}}= {sqrt{а^2-{{а}over{2}}^2}}= sqrt{а^2-{{а^2}over{4}}}=sqrt{{3a^2}over{4}}$$

Вынесем значения $a^2$ и 4 за знак корня.

$$АМ=sqrt{{3a^2}over{4}}=a*{{3}over{sqrt{2}}}$$

Получилась та же формула длины медианы правильного треугольника. Значит, вывод первым способом был осуществлен верно и можно использовать любой из двух способов, если вы вдруг забыли формулу нахождения медианы правильного треугольника.

Длина медианы правильного треугольника – формула, примеры

Рис. 3. Точка пересечения медиан правильного треугольника.

Последний метод очень часто используется не только для вывода формул правильного треугольника, но и для решения задач.

Что мы узнали?

Мы несколькими методами вывели формулу длины медианы правильного треугольника. Указали на метод решения простых задач на нахождение характеристик правильного треугольника, а так же вспомнили основные свойства медианы.

Предыдущая
ГеометрияВысота треугольника – определение, обозначение
Следующая
ГеометрияДлина средней линии треугольника – формула
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Спринт-Олимпик.ру