Периметр равностороннего треугольника – формула и примеры нахождения

В задачах по математике иногда приходится находить суммарное значение всех сторон равностороннего треугольника, формула периметра которого немного отличается от других фигур. Чтобы разбираться в материале, нужно ознакомиться с формулировками основных определений, а также доказать теорему практическим путем.

Периметр равностороннего треугольника - формула и примеры нахождения

Общие сведения

Изучение любой фигуры, процесса или явления всегда начинается с определений. Треугольником называется геометрическое тело, состоящее из трех, не лежащих на одной прямой, вершин. Прямая — совокупность бесконечного количества точек, лежащих в одной плоскости и проходящих без искажений.

Периметр равностороннего треугольника - формула и примеры нахождения

Вершина — точка, образованная сторонами треугольника. Периметр — суммарное значение всех сторон любой фигуры. Высота — отрезок, проведенный из любой вершины на сторону, которая является противоположной, под углом в 90 градусов.

Медиана — часть прямой, проведенной из вершины, но не под прямым углом, а соединяющая ее с серединой противолежащей стороны. Биссектриса — прямая, делящая угол на 2 равных величины.

Виды треугольников

Треугольники классифицируются по углам и сторонам. На основании первого критерия можно выделить несколько типов фигур:

  • Остроугольный.
  • Прямоугольный.
  • Тупоугольный.
  • В первом случае у фигуры все углы острые, т. е. градусная мера каждого не должна превышать 90 градусов. Если хотя бы один из них эквивалентен 90, треугольник является прямоугольным. Однако когда градусная мера одного из них превышает 90, он принадлежит к третьему типу.

    Периметр равностороннего треугольника - формула и примеры нахождения

    Треугольники классифицируются еще и по сторонам. Распределение на группы происходит по такому принципу:

  • Величины всех сторон не равны между собой (произвольный или разносторонний).
  • Равны только значения двух боковых сторон (равнобедренный).
  • Все стороны эквивалентны одному числу (равносторонний или правильный).
  • Равнобедренный треугольник можно считать прямоугольным и тупоугольным. Кроме того, равносторонняя фигура всегда является остроугольной. Далее необходимо перейти к доказательству теоремы о периметре.

    Теорема о периметре

    Каждому ученику известна формула периметра треугольника для 3 класса. Она является довольно примитивным соотношением, и применяется в абсолютно другом виде в старших классах и высших учебных заведениях. Математики предлагают рассмотреть доказательство теоремы о периметре правильного треугольника. Ее формулировка имеет следующий вид: периметр треугольника равен утроенному произведению одной из его сторон, когда фигура является правильной.

    Доказывается утверждение очень просто. Для этого необходимо использовать следующий алгоритм:

    Периметр равностороннего треугольника - формула и примеры нахождения

  • Обозначить стороны треугольника литерами «m», «n» и «о».
  • Записать формулу периметра P в общем виде: P=m+n+o.
  • Используя определение и свойство сторон правильного треугольника, записать соотношение во втором пункте с условием равенства всех сторон величине q в виде следующей формулы: P=q+q+q=3q.
  • На основании соотношения, полученного в третьем пункте алгоритма, теорема доказана полностью.
  • Можно найти и другое доказательство теоремы, в которой используется прямоугольник. В фигуре нужно провести диагонали, а затем по формуле Пифагора выразить боковые стороны. Однако процесс доказательства утверждения является более сложным.

    У каждой теоремы есть какие-либо следствия. Они позволяют существенно оптимизировать вычисления при решении задач. Далее необходимо рассмотреть полезные формулы.

    Полезные формулы

    Для вычисления различных параметров треугольника применяются определенные формулы. Кроме того, вводится новая величина, которая называется полупериметром. Она обозначается литерой «р» и составляет половину от периметра, т. е. р=Р/2. Специалисты рекомендуют использовать следующие формулы (если известны исходные параметры):

    Периметр равностороннего треугольника - формула и примеры нахождения

  • Площадь (S) и высоту (l): Р=6S/l.
  • Cторона (t): Р=3t.
  • l: P=6l/(3)^(0.5).
  • Радиус описанного круга: Р=3R (3)^(½).
  • Величина радиуса вписанной окружности: Р=6r (3)^(½).
  • Через формулу Герона: Р=[(S 2 — (t-3)^2)]/[6t — 8].
  • Последнее соотношение редко применяется при решении задач. Однако при известных величинах площади и одной из сторон правильного треугольника значения можно подставить сразу в формулу, а не тратить время на вычисление высоты.

    Пример решения задачи

    Для закрепления теоретического материала нужно решить задачу по геометрии. Ее условие имеет следующий вид:

  • Площадь равностороннего треугольника эквивалентна 12*(3)^(½) сантиметрам.
  • Если от значения площади S отнять сторону t (без учета единиц измерения), получится 8.
  • При делении S на t получается 3.
  • В задаче нужно найти значение стороны. Чтобы выполнить эту операцию, необходимо составить 2 уравнения. Однако для начала требуется обозначить неизвестную величину переменной «t». В результате получается следующая система алгебраических выражений с неизвестными:

    Периметр равностороннего треугольника - формула и примеры нахождения

  • S — t = 8.
  • S: t = 3.
  • Чтобы вычислить величину переменной, необходимо выразить ее в первом тождестве, т. е. t=S-8. После этого нужно подставить все известные значения: t=12*(3)^(½) — 8 = 4*(3)^(½). Для проверки правильности решения нужно воспользоваться вторым соотношением, которое позволит вычислять площадь: 4*(3)^(½) * 3 = 12*(3)^(½).

    Из последнего расчета можно сделать вывод, что сторона треугольника определена правильно и равна 4*(3)^(½). Значение периметра в этом случае будет равно 12*(3)^(½) сантиметров.

    Таким образом, для решения задач по геометрии необходимо знать теорему о периметре и формулы для расчетов различных параметров равностороннего треугольника.

    Предыдущая
    ГеометрияВнутренние односторонние углы - теория, правило и свойства
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить