Противолежащий катет в прямоугольном треугольнике – определение, формулы и задачи

Важным понятием в геометрии, с которым дети знакомятся в начальных классах, является прямоугольный треугольник. Противолежащий катет этой фигуры часто используется для решения геометрических задач. Одна и та же сторона может быть как противолежащей, так и прилежащей. Всё зависит от того, по отношению к какому углу она рассматривается.

Противолежащий катет в прямоугольном треугольнике - определение, формулы и задачи

Основные понятия

Прямоугольным треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трех точек и отрезков, которые их соединяют. При этом один из углов обязательно равен 90°.

Чтобы точно знать, как определить противолежащий и прилежащий катеты, стоит запомнить утверждение: противолежащая сторона в прямоугольном треугольнике — это часть фигуры, которая размещена напротив этого угла, другая же будет прилежащей к гипотенузе. Отличить их очень просто: к примеру, в треугольнике ABC катетом, противолежащим ∠А, будет сторона ВС. По отношению к ∠С им станет АВ. Важное свойство: если противолежащий угол равен 30°, то катет будет равняться половине гипотенузы.

Чтобы легко понять размещение, стоит запомнить утверждение: в названии стороны, что находится напротив определенного угла, нет буквы, которая его обозначает. Он всегда будет острым, поскольку напротив 90° находится гипотенуза.

Противолежащий катет в прямоугольном треугольнике - определение, формулы и задачи

Слово «катет» имеет греческое происхождение. Оно переводится как «перпендикуляр», «опущенный», «отвесной». Это название распространено в архитектуре, здесь оно имеет значение отвеса, который опускают через середину задка ионической капители.

Катет в тригонометрии

Длину сторон можно найти, обратившись к тригонометрии. Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике является отношение противоположного катета к гипотенузе. Выражается это утверждение так: sin А = a/с.

Косинус — отношение противоположного угла к гипотенузе. Это выражение описывается формулой cos А = b/с. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему, что можно записать следующим образом: tg А = а/b.

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

Решение задач

Для решения задач часто используются понятия синус, косинус и тангенс. Здесь нужно руководствоваться формулой с = a/sin а = b/sin b, где c — гипотенуза, а и b — катеты, противоположные определенным углам. Если в задаче требуется найти сторону, то формула имеет другой вид:

  • a = с* sin b;
  • b = с* sin а.

Используя тригонометрическое значение угла (тангенс), для нахождения противолежащей стороны применяют формулы a = b/tg b и b = a/tg a. Часто в заданиях используют углы 30, 45, 60 и 90°, поэтому для практического использования стоит запомнить их тригонометрическое значение. Решение задач происходит по алгоритму, который включает следующие действия:

Противолежащий катет в прямоугольном треугольнике - определение, формулы и задачи

  • Следует проанализировать фигуру, вычислить в ней сторону либо угол.
  • Далее нужно подумать, как элементы треугольника связаны с тригонометрическими функциями либо между собой.
  • В конце приступают к решению, то есть записывают соотношение известных понятий.

    Пример задачи: есть треугольник АВС, где ∠С = 90°, sin А = 7/25, АВ = 5 см. Найти сторону АС. При решении нужно использовать формулу sin А = ВС/АВ = 7/25.

    Введем длину единичного отрезка, которая равная х см, тогда BC = 7x, АВ = 25x. Используя теорему Пифагора, где c² = a² + b², получаем AC² = (25x)² – (7x)² = 24x.

    По условию АВ = 5 см, то есть АВ = 25х = 5, тогда х = 1/5. Если х = 1/5, то АС = 24/5 = 4,8 см.

    Таким образом, изучая материал о прямоугольных треугольниках, ученики знакомятся с катетами и их свойствами. Они учатся решать задания, используя различные понятия либо комбинируя приобретенные ранее знания с новой темой.

    Предыдущая
    ГеометрияРасстояние от точки до прямой - формулы и способы определения
    Следующая
    ГеометрияКак разделить отрезок на равные части - формулы и способы
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить