Признаки равенства прямоугольных треугольников – свойства, правила и применение

Самыми часто решаемыми в геометрии являются примеры на использование свойств равенства прямоугольных треугольников. Признаки фигур позволяют доказать правильность многих теорем, найти параметры других более сложных тел. При этом изучение одинаковости помогает определять и подобие геометрических тел. Занимаются же этим на предмете, изучаемом в седьмом классе средней школы — планиметрия.

Признаки равенства прямоугольных треугольников - свойства, правила и применение

Общие сведения

Треугольник — замкнутая геометрическая фигура, которая состоит из трёх отрезков, образующих 3 внутренних угла. Другими словами — это многоугольник, состоящий из трёх соединённых точек, не лежащих на одной прямой. При этом их последовательно объединяет 3 линии.

Признаки равенства прямоугольных треугольников - свойства, правила и применение

Обозначать фигуру принято тремя латинскими буквами — ABC. Причём по отдельности этими символами подписывают и точки соединения отрезков. Их ещё часто называют вершинами. Углы, которые образуются при них, обозначают одной буквой или используется специальный знак с указанием исходящих из точки линий. Например, в вершине A подписать угол можно как α или ∠ ABC. Стороны, которые лежат против углов, принято указывать маленькими буквами: a, b, c.

Все треугольные многоугольники разделяют на несколько групп по виду их углов. Причём их сумма, вне зависимости от типа фигуры, всегда равна 180 градусов. Треугольники бывают:

  • остроугольными — все вершины состоят из лучей, градусная мера которых менее 900;
  • тупоугольными — фигура, у которой хотя бы один из внутренних углов превышает 900;
  • прямоугольными — один из углов в треугольнике образуется перпендикулярными сторонами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников - свойства, правила и применение

Если у фигуры 2 стороны одинаковы по величине, её называют равнобедренной. Отличный от них отрезок является основанием треугольника. Если же боковые грани в многоугольнике одинаковые, его называют равносторонним или правильным. Есть и третий вид — разносторонний. Все боковые стороны в таком случае не равны друг другу.

Существуют несколько различных свойств равенства треугольников. Они выводятся из замечательных линий и точек фигуры. К ним относится: медиана, биссектриса и высота.

Под первой понимают линию, проведённую из угла к противоположной стороне, разделяющей её на 2 одинаковых отрезка. Биссектрисой является прямая, построенная из вершины к противолежащей грани и делящая её пополам. Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону.

В любом треугольнике можно начертить по 3 таких замечательных линии. Но при этом в прямоугольном многоугольнике высота совпадает с одной из сторон геометрического тела. Называют её катетом. Отличную же сторону — гипотенузой.

Особенности многоугольников с тремя углами

Признаком прямоугольного треугольника является прямой угол. Образуют его стороны — катеты. Равными называются фигуры, которые можно совместить наложением друг на друга. Другими словами, соответствующие стороны двух и более треугольников имеют одинаковую длину. Для определения признаков равенства прямоугольных многоугольников используют особенности фигур. Заключаются они в следующем:

Признаки равенства прямоугольных треугольников - свойства, правила и применение

  • Если сложить 2 угла, отличные от прямого, их сумма составит 90 градусов. Например, α = y + β = 900.
  • Синус прямого угла в прямоугольном многоугольнике можно найти как отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin (α) = BC / AB; sin (β) = AC / AB.
  • Косинус острого угла в фигуре можно найти, разделив прилежащий катет на гипотенузу: sin (α) = A C / AB; sin (β) = B C / AB.
  • Если в треугольнике стороны, образующие прямой угол, одинаковые по длине, сумма их квадратов равняется произведению гипотенузы самой на себя. Это правило называется теоремой Пифагора и в математическом виде записывается так: c = √‎ (a2 + b2).
  • Пусть n и m проекции катетов на гипотенузу. Тогда будут справедливы следующие равенства: a 2 = n * c, b2 = m * c.
  • Высоты, построенные из вершин прямых углов, равны среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу. Кроме этого, высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит её в таком отношении, в каком находятся квадраты прилежащих катетов.
  • Медианы пересекаются в одной точке, находящейся внутри фигуры и делятся в ней 2 к 1, если вести отсчёт от вершины. Это место является центром тяжести фигуры.
  • Биссектрисы острых углов в точке пересечения образуют угол равный 45 градусам.
  • Определить длину медианы, проведённой к катетам, можно, зная размер проекций, опущенных на них: m2a = b2 — a2 / 4; m2b = a2 — b2 / 4.
  • Найти длину биссектрисы можно, воспользовавшись выражением: L = √‎2 * (a * b) / (a + b).
  • Площадь прямоугольного треугольника равняется сумме двух катетов, разделённой на 2 или пропорциональна произведению гипотенузы на высоту и обратно пропорциональна 2: S = (a * b) / 2 = (h * c) / 2.
  • Вокруг прямоугольной фигуры можно описать окружность. При этом радиус круга будет равняться половине гипотенузы: R = c / 2. Если же в треугольник вписать окружность, её диаметр можно вычислить по формуле: d = (a + b — c) = (2 * a * b) / (a + b + c).

    Равенство фигур

    Признаки равенства прямоугольных многоугольников вытекают из свойств треугольников общего вида. Они помогают решать задачи, связанные с нахождением параметров прямоугольников, квадратов, трапеций и других видов сложных фигур.

    Всего есть 3 правила:

    Признаки равенства прямоугольных треугольников - свойства, правила и применение

  • Если размеры катетов одного треугольника совпадают по величине с другим, фигуры равны. Пусть есть 2 фигуры ABC и A1B1C1. В них угол C и С1 по 90 градусов. Катет AC = A1C1, а BC = B1C1. Согласно первому признаку произвольных треугольников, если в них есть одинаковые углы, а прилежащие стороны равны, фигуры совпадают. Отсюда следует, что ABC и A1B1C1 будут идентичны друг с другом.
  • Если катет и прилежащий к нему угол одного прямоугольного треугольника, соответственно равны этим же параметрам у другого, эти фигуры одинаковые. Пусть есть ABC и A1B1C1, у которых: C = C1 = 900, AC = A1C1, ∠A = ∠A1. Чтобы доказать равенство фигур, нужно использовать общее правило. Оно гласит: если есть 2 стороны равны, при этом одинаковые и два прилежащих угла, то такие треугольники идентичные.
  • Если гипотенуза и острый угол, соответственно равны такой же стороне и углу другого прямоугольного многоугольника, они одинаковые. Пусть имеются 2 треугольника, каждый из которых имеет острый угол. При этом AB = A1B1 и ∠A = ∠A1. Так как первые острые углы равны, идентичными будут и вторые. Это следует из дополнения до 900 ∠A: ∠B = 900 — ∠A. Соответственно, для второй фигуры будет верно: ∠B1 = 900 — ∠A1. Но так как ∠A = ∠A1, то вытекает что ∠B = ∠B1. Получается, что все углы одной фигуры соответственно равны углам другого треугольника. Гипотенуза и прилежащие вершины одинаковые. Значит, многоугольники совпадают друг с другом.
  • Есть ещё одно правило, которое является следствием предыдущих признаков. Сформулировать его можно так: когда в двух треугольниках совпадает длина любого из катетов и гипотенузы, они идентичны. Доказательство этого признака заключается в использовании теоремы о равенстве фигур с одинаковыми боковыми гранями и большим углом. Для прямоугольной фигуры таким будет являться угол равный 90 градусов.

    Применение правил на практике

    Признаки равенства прямоугольных треугольников - свойства, правила и применение

    Признаки равенства довольно важны для геометрии. Доказательства различных теорем построены именно на них. При этом с их помощью можно решать сложные задачи, связанные с многогранниками различных видов. Вот одно из таких заданий, для успешного решения которого нужно использовать правила равенства.

    Имеется трапеция ABCD. В ней опущены высоты BK и CN. Известно, что AK = ND. Доказать, что заданная фигура равнобокая. Сделать это можно будет, установив, что 2 прямоугольных треугольника равны друг другу, то есть ABK и CND после совмещения друг с другом будут совпадать. Значит: AB = CD.

    По условию AK = ND, при этом отрезки AD и BC параллельны между собой. Последнее следует из определения параллелограмма. Можно утверждать, что высоты BK и CN имеют одинаковую длину. Это известно из правила равенства расстояния между двумя параллельными прямыми. В результате получается, что в треугольниках равны между собой 2 стороны (катеты) и угол. Из равенства следует, что все элементы в треугольнике одинаковые, то есть ABK = CND, значит: AB = CD, что и требовалось доказать.

    Ещё один пример. Пусть есть геометрическое тело ABCD. В нём ∠С и ∠D равны 90 градусов. Известно, что длина AC совпадает с AD. Нужно установить, какой отрезок фигуры будет равен BD. Сделать это можно следующим образом: если провести отрезок, соединяющий вершины A и B, получится 2 треугольника с прямыми углами. При этом гипотенуза у них будет общей. Но также по условию у них равны 2 катета. Опираясь на третий признак идентичности треугольников, можно утверждать, что ACB = ADB. Отсюда следует, что у них равны все противолежащие стороны. Значит: BD = CD. Задача решена.

    Таким образом, при решении задач со сложными фигурами, можно вначале оценить их на возможность использования свойств и признаков треугольников. В частности, прямоугольного. Фигуры нужно научиться видеть и использовать их свойства. Ведь треугольные тела уникальные и помогают в ряде случаев намного упростить решение примеров.

    Признаки равенства начинают изучать в седьмом классе, сразу же после ознакомления с простейшими видами геометрических тел. Причём эти правила пригодятся и в дальнейшем, на уроках по стереометрии и аналитической геометрии.

    Предыдущая
    ГеометрияПлощадь равностороннего треугольника - формулы и примеры решения
    Следующая
    ГеометрияДиагональ прямоугольного параллелепипеда - свойства, формулы и примеры
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Добавить комментарий

    13 − 9 =

    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить