Площадь параллелограмма – формула, методика и примеры вычисления

Задачи на нахождение площади параллелограмма довольно часто встречаются в геометрии при выполнении контрольных работ, написании зачетов и решении практических заданий экзаменационных билетов. Для получения отличных оценок необходимо знать доказательства теорем, основные соотношения и методику их нахождения, а также уметь применять знания, полученные в процессе обучения, на практике.

Площадь параллелограмма - формула, методика и примеры вычисления

Общие сведения

Перед обучением решению задач специалисты рекомендуют изучить теорию и разобраться в ней. Параллелограмм — геометрическая фигура, состоящая из четырех вершин и взаимно-параллельными, а также равными между собой противоположными сторонами. Высота — часть прямой (отрезок), исходящая из вершины на противоположную сторону и образующая с последней прямой угол.

Диагонали не равны между собой. Для удобства их обозначают литерами F и f (большая и малая соответственно). Однако у квадрата и прямоугольника они эквивалентны. Специалисты рекомендуют на начальных этапах обучения правильно определять геометрическую фигуру. Для этой цели существуют признаки параллелограмма.

Признаки параллелограмма

Признаки — набор критериев и правил, при помощи которых определяется тип геометрического тела. В некоторых задачах с повышенной сложностью дается четырехугольник с определенными исходными данными. Далее необходимо найти один из его параметров по формуле. Для этого следует правильно идентифицировать фигуру, чтобы воспользоваться необходимым соотношением.

Вот на этом этапе будут полезны признаки, позволяющие отнести геометрическое тело к классу параллелограммов. К ним относятся следующие:

Площадь параллелограмма - формула, методика и примеры вычисления

  • Равны только противоположные стороны, а углы между ними не прямые.
  • Диагонали не пересекаются под прямым углом и не равны.
  • Следует отметить, что при выполнении одного условия фигура принадлежит к классу параллелограммов.

    Свойства фигуры

    Свойства — утверждения, доказанные математиками. Они применяются для доказательств теорем, решения диофантовых (линейных) систем уравнений на нахождение двух неизвестных величин, вычисления параметров фигуры, а также для проектирования деталей. Для этих целей можно применять такие утверждения:

  • Эквивалентность противоположных сторон и углов.
  • Сумма градусных мер внутренних углов соответствует 360.
  • Диагонали делят фигуру на равные, а также подобные между собой треугольники. Кроме того, они пересекаются в определенной точке, которая делит их на два эквивалентных отрезка.
  • Через точку пересечения возможно провести среднюю линию (соединяет середины противоположных сторон).
  • После свойств математики рекомендуют ознакомиться с некоторыми теоремами, позволяющими выводить формулу площади параллелограмма.

    Теоремы о площади

    Формулы площади — базовые соотношения, позволяющие найти другие параметры параллелограмма. Однако начинающему математику рекомендуется посмотреть, каким образом они доказываются. В отличие от прямоугольника величина рассчитывается немного иначе. Формулы — математическая запись определенной теоремы про площадь. Их всего три:

    Площадь параллелограмма - формула, методика и примеры вычисления

  • По стороне и высоте.
  • Стороны и величина синуса тупого угла (∠).
  • Диагонали и синус угла, который образован ими.
  • Однако для удобства доказательства утверждений следует ввести обозначения основных параметров фигуры:

  • Параллелограмм — MNOP.
  • Стороны: МN=OP=k и NO=MP=l.
  • Диагонали: меньшая NP=f, а большая MO=F.
  • Высоты, проведенные из вершины ∠: NS=h1 и ОТ=h2 соответственно.
  • Тупой и острый углы: ∠u и ∠v соответственно.
  • Углы образованные пересечением F и f: больший — ∠w и меньший — ∠z.
  • Следует отметить, что специалисты при решении любой задачи или доказательстве геометрических тождеств рекомендуют использовать сокращенные записи. Этот подход является признаком мастерства и правилом хорошего тона в точных науках.

    Сторона и высота

    Первую теорему можно сформулировать следующим образом: площадь параллелограмма равна произведению большей стороны на значение высоты. Доказывается утверждение довольно просто по такому алгоритму:

    Площадь параллелограмма - формула, методика и примеры вычисления

  • Начертить параллелограмм MNOP (∠NMP=∠v, ∠MNО=∠u, MN<MP).
  • Провести высоты NS и TO из вершин N и О на основание MP. Они образовывают по определению два прямоугольных треугольника MNS и CKP. В них углы NMS и TPS эквивалентны и являются острыми. Кроме того, высоты и стороны MS и PT являются катетами. Следовательно, MN и OP — гипотенузы.
  • Из третьего пункта алгоритма следует, что треугольники равны между собой.
  • Далее требуется сравнить площадь параллелограмма MNOP и прямоугольника SNOT: отличаются только наличием и отсутствием равных треугольников.
  • Следовательно, S=NS*NO=h1*l=h2*l, то есть размерность параллелограмма эквивалентна произведению высоты h1 на большую сторону l. Утверждение доказано.
  • Следует отметить, что высоты, проведенные из вершин тупого и острого углов (h1 и h2), равны между собой. Их можно обозначить для удобства одной литерой H.

    Стороны и острый угол

    Следующая теорема имеет такую формулировку: при известных сторонах параллелограмма и размерности угла между ними его площадь эквивалентна произведению первых двух на синус третьего, то есть S=k*l*sin (∠v). Доказывается утверждение по такой методике:

  • Выполнить два первых пункта алгоритма теоремы о нахождении S при известной высоте и большей стороне.
  • Найти боковую сторону через синус и высоту (по соотношению прямоугольного треугольника): MN=k=H/sin (∠v).
  • Выразить значение H: Н=k*sin (∠v).
  • Подставить в соотношение площади через H и сторону: S=H*l=klsin (∠v).
  • Утверждение доказано. Следует отметить, что в геометрии очень часто одна теорема используется для доказательства другой.

    Величины диагоналей

    Третья теорема определения величины площади параллелограмма через диагонали имеет следующую формулировку: размерность эквивалентна произведению диагоналей на острый угол между ними (S=F*f*sin (∠z)). Доказывается утверждение по такому алгоритму:

    Площадь параллелограмма - формула, методика и примеры вычисления

  • Чертится параллелограмм, в котором затем проводятся диагонали. По свойству они пересекаются в точке Е, а также делятся пополам, то есть ME=OE=½ (MO) и NE=PE=½ (NP).
  • ∠MEN+∠MEP=∠NEO+∠OEP=180. Следовательно, синусы при пересечении F и f равны sin (∠z).
  • Параллелограмм состоит из треугольников, суммы площадей которых эквивалентны искомой S параллелограмма.
  • Площадь треугольника: S=½ (MN*NO*sin (∠z)). Стороны всех треугольников эквивалентны половине длины диагоналей, то есть S=½[(MO/2)*(NP/2)*sin (∠z)].
  • Результирующая площадь всех треугольников: S=4[(MO*NP/8)]*sin (∠z)=[(MO*NP/2)]*sin (∠z). Если известен только тупой угол w, то соотношение возможно записать через косинус следующим образом: S=[(MO*NP/2)]*cos (∠w).
  • Утверждение доказано.
  • Следует отметить, что результирующая формула с подстановкой всех величин имеет следующий вид: S=[(Ff/2)]*sin (∠z). Однако для решения задач возможно использовать еще один параметр, который называется периметром.

    Информация о периметре

    Периметр или поверхность плоского геометрического тела — алгебраическая сумма сторон параллелограмма. Он обозначается литерой «Р». Базовое соотношение имеет следующий вид: S=MN+NO+OP+MP=2 (k+l). Кроме того, существуют другие соотношения для определения Р:

  • P=2k+[2 (F^(2)+f^(2)-2k^(2))]=2l+[2 (F^(2)+f^(2)-2l^(2))].
  • P=2[k+H/sin (v)]=2[l+H/cos (z)].
  • Следует отметить, что из этих соотношений можно найти стороны, высоту и углы. Кроме того, последнее соотношение можно записать в другом виде: P=2[k+H/sin (z)]=2[l+H/cos (v)]. Эти формулы строятся на основании теорем о площади параллелограмма, в которых стороны и другие параметры выражаются через S треугольников. Специалисты рекомендуют после изученного материала переходить к рассмотрению других соотношений.

    Другие параметры

    Определение сторон и диагоналей осуществляется посредством следствий из теорем. Математики рекомендуют воспользоваться готовыми формулами, но не стоит забывать и о тренировках. Последние реализуются при помощи самостоятельного выражения одной величины через другую. Стороны можно найти, когда известны следующие параметры:

    Площадь параллелограмма - формула, методика и примеры вычисления

  • F, f и ∠z: k=[((F)^2+(f)^2 -2Ffcos (∠z))^(½)]/2 = [((F)^2+(f)^2+2Ffcos (∠v))^(½)]/2 и l=[((F)^2+(f)^2+2Ffsin (∠v))^(½)]/2=[((F)^2+(f)^2−2Ffsin (∠z))^(½)]/2.
  • Одну сторону, F и f: k=[(2F 2 +2f 2 −2l 2 )]^(½)/2 и l=[(2F 2 +2f 2 −4k 2 )]^(½)/2.
  • H и ∠v: k=H/sin (∠v) и l=H/cos (∠v).
  • S и H: l=S/H и k=S/[H-2Hcos (∠v).
  • Для нахождения диагонали специалисты рекомендуют также воспользоваться следствием из последней теоремы. Кроме того, возможности расчетов расширяются при использовании и других соотношений:

  • k, l и ∠v: F=[k 2+l 2 -2klcos (∠v)]^(½) и f=[k 2 +l 2 +2klcos (∠v)].
  • k, l и ∠z: F=[k 2+l 2 -2klcos (∠z)]^(½) и f=[k 2 +l 2 +2klcos (∠z)].
  • Диагональ и сторона: F=[2k 2 +2l 2-f 2 ]^(½) и f=[2l 2 +2k 2 -(f)^2]^(½).
  • S, F или f, ∠v: F=2S/[(f)sin (∠v)]=2S/[fsin (∠v)] и f=2S/[(F)sin (∠v)].
  • Для практического применения знаний специалисты рекомендуют переходить к заданиям по геометрии.

    Пример решения

    Для закрепления теоретических знаний рекомендуется постоянно решать задачи. Условие одной из них имеет следующий вид:

  • Периметр: 34.
  • Острый угол ∠v: 30.
  • Высота H: 3,5.
  • Одна сторона больше другой на 3.
  • Острый угол при пересечении диагоналей ∠z: 30.
  • Необходимо найти площадь (S), высоту (H). Вычисляются необходимые параметры по следующему алгоритму:

    Площадь параллелограмма - формула, методика и примеры вычисления

  • Обозначить стороны: k=x и l=x+3.
  • Написать формулу периметра: Р=2 (к+l).
  • Составить уравнение, подставив известные величины в тождество во втором пункте: 34=2 (х+(х+3))=2 (2х+3).
  • Сократить обе части на 2: 17=2х+3.
  • Найти неизвестную величину: 2х=14. Отсюда х=14/2=7.
  • Вторая сторона: l=7+3=10.
  • Высота: Н=k*sin (∠v)=7*0,5=3,5.
  • Площадь S: S=Hl=3,5*10=35.
  • Задачу можно решать при помощи других соотношений. Однако это приведет к увеличению количества вычислений, в результате которых могут возникнуть ошибки.

    Таким образом, для нахождения площади параллелограмма нужно знать признаки фигуры, свойства, теоремы, формулы и соотношения, а также чаще решать различные задачи.

    Предыдущая
    ГеометрияПравильный треугольник - свойства, признаки и формулы
    Следующая
    ГеометрияУглы при параллельных прямых и секущей - виды и свойства
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Добавить комментарий

    4 × три =

    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить