Статика – раздел классической механики, в котором рассматриваются условия равновесия тел под действием сил и вращательных моментов. Понимание ее принципов важно при проектировании зданий и сооружений, автомобильной и другой техники.
Основные понятия статики
В простых и однородных телах центр масс и центр тяжести находятся в одной точке, но в общем случае это не так. Под центром масс понимают такую точку тела, которая определяется радиус-вектором:
$r_c = frac {sumlimits_{i=1}^n m_i cdot vec r_i}{sumlimits_{i=1}^n m_i}$
Для однородного стержня – это его середина, для треугольника – точка пересечения медиан. Используя понятие центра масс, движение сложных тел описывают посредством классических законов Ньютона.
Рис. 1. Центр масс.
Центр тяжести однородных тел – это точка, относительно которой сумма моментов сил равна нулю.
Центр тяжести однородного тела определяется выражением:
$r_c =frac {1}{V} cdot iiint rdV$
Два других ключевых для статики понятия – момент силы и плечо силы.
Моментом силы называют векторное произведения силы и радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы. Такой радиус-вектор иногда называют плечом силы. Момент силы можно находить иначе:
$vec M = I cdot frac {d vec omega}{dt}$
I – момент инерции тела, определяемый выражением $I = int r^2dm$, а $omega$ – угловая скорость.
Рис. 2. Момент сил.
Равновесие тел
Из второго закона Ньютона следует, что тело не изменяет своего положения в том случае, когда геометрическая сумма всех сил, действующих на него, равна нулю. Это необходимое, но в общем случае не достаточное условие. По аналогии с динамикой прямолинейного движения в динамике вращательного движения вместо силы вводят понятие момента силы, о котором говорилось выше. Поэтому, чтобы исключить вращение тела, геометрическая сумма моментов сил также должна равняться нулю.
Рис. 3. Силы и моменты сил, действующие на тело в состоянии равновесия.
Таким образом, условие равновесия тел, имеющих ось вращения, запишется так:
begin{equation*}begin{cases}sumlimits_{i=1}^n vec F = 0,\sumlimits_{i=1}^n vec M = 0 end{cases}end{equation*}
На практике различают три вида равновесия тела:
- Устойчивое (при отклонении возникают силы, стремящиеся вернуть тело в положение равновесия)
- Безразличное (при отклонении состояние равновесия сохраняется)
- Неустойчивое (при отклонении возникают силы, не позволяющие телу вернуться к состоянию равновесия).
Задачи
Какую силу нужно приложить к краю стержня массой 100 кг и длинной 1 м, чтобы приподнять его? Центр тяжести стержня смещен в сторону оси вращения на 40 см.
Решение:
Момент силы тяжести: $M_т = mg cdot (frac {l}{2} – 0,4) cdot cos phi$
Момент прикладываемой силы: $M_F = F cdot l cdot cos phi$
После того, как стержень приподняли, устанавливается равновесное состояние. Тогда, приравняв моменты, выразим силу:
$F = frac {mg cdot (frac {l}{2} – 0,4)}{l} = 100 cdot (0,5 – 0,4) = 10 : Н$.
Что мы узнали?
В ходе урока рассмотрели основные понятия статики, установили два необходимых и достаточных условия равновесия для произвольного тела (суммарный момент и равнодействующая сил должны равняться нулю). Для закрепления материала решили задачу.
Предыдущая
