Одной из ключевых для гидростатики является тема плавания тел, а также их равновесия. Главный ее вопрос – устойчивость простых и сложных тел в жидкостях.
Основной закон
Рассмотрим несжимаемую жидкость, которая находится в состоянии равновесия, и выделим в ней объем V; из условия равновесия следует, что геометрическая сумма всех действующих на него сил, а также их моменты, равны нулю:
begin{equation*} begin{cases}vec F = m vec g, \ vec M_F = vec M_{mg} end{cases} end{equation*}
Под силой F здесь разумеется некая выталкивающая сила. Чтобы найти ее, поместим на место выделенного объема воды некое твердое тело тех же размеров. Такое, что состояние равновесия сохранилось. Тогда сила F будет определяться выражением:
$F = rho_ж cdot g cdot V_ж$. Для нее ввели специальное название – сила Архимеда, в честь греческого ученого, открывшего ее. Одноименный закон гласит: на погруженное (полностью или частично) тело действует выталкивающая сила, численно равная весу вытесненной жидкости.
Рис. 1. Сила Архимеда.
В формуле силы тяжести выразим массу через плотность и объем и приравняем ее к силе Архимеда:
$rho_т cdot V_т cdot g = rho_ж cdot g cdot V_ж$
Но поскольку $V_т = V_ж$, запишем:
$rho_т = rho_ж$ – граничное условие плавания тел.
При равенстве плотности тела и жидкости, в которой оно находится, тело полностью погружено и не тонет. В случае, если плотность жидкости больше плотности тела, последнее всплывает, а если меньше – тонет.
Устойчивость плавающих тел
В гидростатике вместо центра тяжести используют эквивалентное понятие центра плавучести тела. Теперь рассмотрим два возможных случая:
- Плавающее тело полностью погружено в жидкость. Равновесие достигается в том случае, когда центр масс тела лежит ниже его центра плавучести. В противном случае создается момент сил, и тело вращается.
- Плавающее тело погружено частично. Эта задача представляет интерес при изучении устойчивости кораблей. Рассмотрим разрез корабля (рис 2.). Его центры масс и плавучести лежат на вертикальной оси симметрии.
Рис. 2. Центры масс и плавучести на схеме корабля.
При наклоне корабля на малый угол центр плавучести смещается, и тогда линия действия выталкивающей силы пересекает вертикальную ось симметрии в некоторой точке, называемой метацентром. В том случае, если метацентр расположен ниже центра масс, момент сил направлены так, что корабль становится неустойчивым и переворачивается. Соответственно, для устойчивости необходимо, чтобы метацентр был выше центра масс.
Рис. 3. Возникновение метацентра корабля и моментов сил.
Задачи
Найти объем вытесненной жидкости, если известно, что тело полностью погружено в воду и не тонет, а действующая на него выталкивающая сила равна 4200 Н.
Решение:
Запишем второй закон Ньютона:
$vec F_a = vec P$, где Р – вес тела, численно равный произведению массы на ускорение свободного падения. Или:
$rho_ж cdot g cdot V_ж = P$
$V_т = V_ж = frac {P}{rho_ж cdot g} = frac {4200}{10 cdot 4200} = 0,1 : м^3$
Что мы узнали?
В ходе урока вывели закон Архимеда, на котором базируется теория плавания тел, записали условия, при которых тела плывут и тонут, а также в общем виде рассмотрели вопрос устойчивости плавающих тел.
Предыдущая
