Большинство задач классической механики рассматриваются в поле тяготения Земли, поэтому определение силы тяжести, действующей на тело в этом поле – необходимость. И поэтому нужно понимать ее природу и уметь рассчитывать ее как на поверхности планеты, так и на высоте от нее.
О гравитации
Ньютоном было установлено, что любые тела испытывают друг к другу притяжение, и оно тем сильнее, чем ближе тела друг к другу расположены. Часто говорят, что всё началось с истории о яблоке. Отчасти это верно. Цепочка рассуждений привела Ньютона к новому закону, на котором выросла классическая механика неба.
Этот закон установил, что сила притяжения тел друг к другу, или сила тяготения (гравитационная), выражается формулой:
$vec F = gamma {m_1m_2 over r^3} vec r$ – (1),
где m1 и m2 – массы первого и второго тела, r – расстояние между ними, а $gamma$ – некоторая постоянная, которую назвали гравитационной. Причем, согласно третьему закону Ньютона, первое тело действует на второе, и второе на первое. Модуль их сил одинаков, но направлены они против друг друга.
Рис. 1. Закон всемирного тяготения.
Если записать это, используя второй закон Ньютона для одного из тел, то найдем ускорение, с которым первое тело притягивается ко второму:
$vec a = gamma {m_2 over r^3} vec r$ – (2)
Из формулы (2) видно, что ускорение тела не зависит от его массы. Ему дали название – ускорение свободного падения, и ввели специальное обозначение – g.
Величину $varphi = gamma {m over r}$ – называют потенциалом поля тяжести объекта массой m. Геометрическое место точек, удаленное от объекта на расстояние r – сфера, значение потенциала на любой ее точке одно и тоже. Такую поверхность называют эквипотенциальной. Потенциал, умноженный на массу тела, помещенного в гравитационное поле объекта, называют потенциальной энергией тела в поле объекта.
Рис. 2. Эквипотенциальная поверхность.
Сила притяжения земли
Если в формулу (2) подставить значения массы Земли и ее радиуса, то получим ускорение свободного падения на Земле. В силу того, что наша планеты приплюснута с боков, то значение g будет наибольшим на полюсах и наименьшим на экваторе. Влияет также и вращение планеты вокруг собственной оси, что создает инерциальные силы. В целом g принимают равным 9,8 м/с2, что является средним значением на поверхности Земли.
Рис. 3. Форма Земли и значение g.
С подъемом на высоту ускорение свободного падения уменьшается, но незначительно. На 5 км оно все еще приблизительно равно 9,8 м/с2. Поэтому в большинстве задач этим изменением пренебрегают.
Произведение $mg$ называет силой тяжести, действующей на тело массой m в гравитационном поле Земли. Сила тяжести является одной из трех важнейших сил в классической механике.
Задачи
- Масса Юпитера ${1,9 cdot 10^{27}}$, его радиус – 69911 км, масса космического корабля – 20 тонн. Найти ускорение свободного падения на поверхности Юпитера. Найти силу тяжести, которая действует на космический корабль на высоте 120 км от поверхности Юпитера.
Решение первой задачи
$g_1 = gamma {M over R^2} = {6,67 cdot 10^{-11}}{{1,9 cdot 10^{27}} over 69911^2} = 25,9 м/c$ – ускорение свободного падения на поверхности Юпитера.
$g_2 = gamma {M over (R+h)^2} = {6,67 cdot 10^{-11}}{{1,9 cdot 10^{27}} over 70031^2} = 25,8 м/c$ – ускорение свободного падения на высоте 120 км от поверхности Юпитера.
$F = mg_2 = 516 кН$ – сила тяжести, действующая на космический корабль на высоте 120 км от поверхности Юпитера.
- Масса космонавта – 70 кг. Масса планеты Земля ${5,97 cdot 10^{24}}$, ее радиус – 6371 км, масса Луны – ${7,35 cdot 10^{22}}$, а ее радиус – 1737 км. Рассчитать силу тяжести, которая действует на космонавта на поверхности Луны и на высоте 500 км от поверхности Земли. Сравнить их величины.
Решение второй задачи
$F_1 = gamma {mM_1 over (R_1+h)^2} = {6,67 cdot 10^{-11}}{{133 cdot 10^{24}} over 6871^2} = 568 Н$ – сила тяжести, действующая на космонавта на высоте 500 км от поверхности Земли.
$F_2 = gamma {mM_2 over (R_2)^2} = {6,67 cdot 10^{-11}}{{515 cdot 10^{22}} over 1737^2} = 15,6 Н$ – сила тяжести, действующая на космонавта на Луне.
$F_1 – F_2 = 552,4 Н$
Что мы узнали?
В ходе урока был разобран закон всемирного тяготения, выведена формула для расчета ускорения свободного падения и введено понятие потенциала гравитационного поля. После чего было рассмотрено ускорение свободного падение на Земле и приведена формула силы тяжести, действующей на тела в гравитационном поле нашей планеты. В завершении урока были разобраны две задачи на пройденную тему.
Предыдущая
