Уравнение Менделеева-Клапейрона – формула для идеального газа, вывод

Одним из важных соотношений, связывающим макроскопические газовые параметры (объем, давление, температуру) с физическими параметрами вещества (с общей и молярной массой) является уравнение Менделеева-Клапейрона. Рассмотрим его подробнее.

Уравнение Менделеева-Клапейрона – формула для идеального газа, вывод

Уравнение Клапейрона

Теоретической основой для формулы состояния идеального газа является молекулярно-кинетическая теория.

Уравнение Менделеева-Клапейрона – формула для идеального газа, вывод

Рис. 1. Идеальный газ.

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает давление идеального газа с концентрацией и среднеквадратичной скоростью молекул:

$$p={1over 3}nm_0overline {v^2},$$

где:

  • $n$ – концентрация молекул (число молекул в единице объема);
  • $m_0$ – масса молекулы;
  • $overline {v^2}$ – среднеквадратичная скорость молекулы.

Если известна среднеквадратичная скорость материальной точки, то ее энергия равна $overline E = {m_0overline {v^2}over 2}$, а значит:

$$p={2over 3}noverline E$$

Средняя энергия молекулы газа прямо пропорциональна температуре (коэффициент $k$ – постоянная Больцмана):

$$overline E = {3over 2}kT$$

Подставим это выражение в предыдущее, и получим:

$$p = nkT$$

Выведенная формула означает, что при одинаковых давлениях и температурах концентрация молекул любого газа одинакова.

Концентрация молекул газа равна отношению количества молекул газа к его объему:

$$n={Nover V}$$

А значит, если число молекул постоянно, то отношение произведения давления и объема к температуре для идеального газа будет постоянным:

$${pVover T} = const$$

Данное соотношение называется уравнением Клапейрона. (Оно было выведено Б.Клапейроном)

Уравнение Менделеева-Клапейрона – формула для идеального газа, вывод

Рис. 2. Б. Клапейрон.

Уравнение состояния идеального газа

Количество молекул газа в уравнении Клапейрона можно получить, зная количество вещества (каждый моль вещества содержит одинаковое число молекул, равному числу Авогадро $N_A=6×10^{23}$). Оно равно отношению массы газа $m$ к его молярной массе $М$. Умножив это значение на число Авогадро, можно получить количество молекул газа. А поделив на объем – концентрацию. Следовательно:

$$n={mover M}{1over V}N_A$$

Подставим найденное значение концентрации в формулу давления, и получим:

$$p = nkT={mover M}{Tover V}kN_A$$

Произведение постоянной Больцмана $k$ и числа Авогадро $N_A$ называется универсальной газовой постоянной, которая равна $R=8.31$ и имеет единицу измерения $Дж over моль × К$. Подставив эту постоянную в уравнение, окончательно имеем:

$$pV ={mover M}RT$$

Полученное соотношение связывает макроскопические газовые параметры (объем, давление, температуру) с физическими параметрами вещества (с общей и молярной массой). Оно было получено Д.Менделеевым, и называется уравнением Менделеева-Клапейрона.

Уравнение Менделеева-Клапейрона – формула для идеального газа, вывод

Рис. 3. Д. Менделеев.

Парциальное давление и Закон Дальтона

Из уравнения Менделеева-Клапейрона можно сделать вывод, что макроскопические газовые параметры зависят от значения молярной массы газа. В реальных задачах очень часто газ (например, воздух) представляет собой смесь газов различных молярных масс. В этом случае расчет производится для каждой компоненты смеси отдельно, как если бы компонента занимала весь объем газа при той же температуре. Давление, получаемое для каждой компоненты в этом случае, называется парциальным. А общее давление смеси газов находится из закона Дальтона: «Давление смеси химически невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений»:

$$p_{общ} = p_{парц 1} + p_{парц 2} + p_{парц 3} …$$

Что мы узнали?

Формула уравнения Менделеева-Клапейрона связывает макроскопические газовые параметры (объем, давление, температуру) с физическими параметрами вещества (с общей и молярной массой), и является основным уравнением состояния идеального газа. Если газ является смесью газов различной молярной массы, используется понятие парциального давления и Закон Дальтона.

Предыдущая
ФизикаПервый закон термодинамики – формула, определение, применение
Следующая
ФизикаЗакон Ома для полной цепи – формула, определение
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить