Кинетическая энергия вращательного движения – полная формула

Энергия – это способность к совершению работы. Поскольку существует много способов совершения работы, существуют разные виды энергии. Рассмотрим один из таких видов – кинетическую энергию вращательного движения.

Кинетическая энергия вращательного движения – полная формула

Баланс энергии при совершении работы

Если тело имеет некоторую энергию, то существуют возможности передачи этой энергии другим телам. В частности, если тело обладает потенциальной энергией (например, пружина в сжатом состоянии), то оно может передать эту энергию другим телам, изменяя их положение, и совершая работу.

Согласно законам сохранения энергии, общая сумма энергии в изолированной системе остается постоянной. А значит, если вся энергия тела уйдет на совершение работы, то, определив эту работу, мы можем вычислить энергию, которой обладало тело перед совершением работы.

Кинетическая энергия вращательного движения – полная формула

Рис. 1. Закон сохранения механической энергии.

Формула кинетической энергии при вращении

Кинетической называют энергию движения.

Кинетическая энергия вращательного движения – полная формула

Рис. 2. Кинетическая энергия.

Найдем кинетическую энергию вращающейся материальной точки.

Пусть изначально материальная точка с моментом инерции $J = mR^2$ вращается по траектории радиусом $R$ c угловой скоростью $omega$. Начнем равномерно тормозить вращение, чтобы до полной остановки точка повернулась на угол $alpha$.

При равномерном торможении сила торможения $F$ и момент этой силы $M=FR$ будут постоянными. А значит, согласно Второму Закону Ньютона, угловое ускорение, получаемое материальной точкой, тоже будет постоянным, и равным:

$$varepsilon = {M over J}$$

Для равноускоренного вращения угол поворота и угловая скорость и угловое ускорение связаны соотношением:

$$alpha ={omega_2^2-omega_1^2over 2varepsilon}$$

Учитывая полную остановку вращения, и формулу ускорения, получаем:

$$alpha ={omega^2over 2varepsilon}={omega^2 J over 2M}$$

Во время поворота на этот угол на тело постоянно действовал момент силы торможения $M$, а значит была совершена работа:

$$A = alpha M={omega^2 J over 2}$$

Поскольку материальная точка остановилась – то вся первоначальная кинетическая энергия $E_k$ была направлена на совершение работы, и, таким образом, эта энергия равна совершенной работе.

В итоге мы получили формулу полной кинетической энергий вращательного движения материальной точки:

$$E_k ={omega^2 J over 2}={omega^2 mR^2over 2}$$

Особенности кинетической энергии при вращении

Сравним формулу кинетической энергии при вращении с формулой кинетической энергии тела для прямолинейного движения:

$$E_k ={v^2 m over 2}$$

Можно видеть их близость. Но, в формуле для вращения для материальной точки присутствует дополнительный множитель – радиус. Его необходимость объясняется тем, что при повороте на один и тот же угол, материальная точка, расположенная на более далеком расстоянии от центра вращения, проходит больший путь, по сравнению с более близкой точкой. Поэтому и ее мгновенная линейная скорость, а значит, и кинетическая энергия получается больше. Для твердых тел различной формы радиус вращения также учитывается при определении момента инерции.

В том, что у материальной точки с большим радиусом вращения кинетическая энергия больше, легко убедиться, раскручивая груз на шнуре. Если раскручивать груз с постоянной частотой (скажем, один оборот в секунду), то при малой длине шнура это сделать легко, однако, чем длиннее шнур, тем приходится прилагать больше усилий, хотя масса шнура остается постоянной.

Именно поэтому с помощью пращи камень можно метнуть дальше, чем просто рукой. Больший радиус вращения позволяет сообщить камню большую энергию.

Кинетическая энергия вращательного движения – полная формула

Рис. 3. Метание камня с помощью пращи.

Что мы узнали?

Формула кинетической энергии вращающейся материальной точки аналогична формуле кинетической энергии поступательного движения материальной точки. Вместо линейной скорости используется угловая скорость, а вместо массы – момент инерции. Поскольку момент инерции материальной точки зависит от радиуса вращения, кинетическая энергия вращения материальной точки зависит не только от угловой скорости, но и от радиуса вращения.

Предыдущая
ФизикаОсновное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Следующая
ФизикаУравнение вынужденных колебаний кратко
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Спринт-Олимпик.ру
Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить
×