Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Как найти угол между прямыми? Пара прямых на плоскости может иметь несколько вариантов расположения относительно друг друга: полностью совпадать, быть параллельными друг другу и пересекающимися. 

Одной из типичных геометрических задач является задача по нахождению угла между двумя пересекающимися линиями.

Определение угла между скрещивающимися прямыми

Пересечение двух линий на плоскости говорит о наличии у них одной общей точки. Она же является центром их пересечения и делит их на лучи. 

Лучи формируют четыре угла, которые являются неразвернутыми. Зная о размере одного из них, можно вычислить значение и остальных. Точно можно утверждать, что если один из них – прямоугольный, то остальные три равнозначны ему, а линии будут перпендикулярными.

 Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Рис. 1 Графическое отображение пересечения прямых


Как найти угол между скрещивающимися прямыми

Для определения угла между двумя скрещивающимися линиями можно воспользоваться специальным онлайн-калькулятором или применить традиционный математический алгоритм для вычислений.

Предположим, что две бесконечные линии задаются уравнениями общего вида:

A1 + B1 + C1 = 0

A2 + B2 + C2 = 0

Искомое значение следует обозначить как φ. Численная величина угла измеряется в градусах от 0 до 90°, т. е. угол будет острым или прямоугольным. Необходимо ввести еще одно понятие– угол ψ между нормальными векторами данных прямых:

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Если он меньше, либо равен 90°, то непосредственно сам искомый угол будет соответствовать его градусной мере. В случае когда ψ больше 90°, для вычисления φ необходимо применить известную формулу:

φ = 1800 — ψ.

Для обоих вариантов достоверно утверждение, что cos φ = lcos ψl. Выполнив необходимые вычисления, можно рассчитать искомое значение:

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Если по условию задачи существует некий прямоугольный треугольник с известными сторонами, расположенными на двух прямых, то для вычисления угла между этими прямыми необходимо знать синус, тангенс и косинус искомого угла. 

Для нахождения значения синуса угла, образованного в результате пересечения двух прямых, вычисляют модуль косинуса этого угла, образованного направляющими векторами данных прямых.

Пример решения задачи

На школьных уроках геометрии для решения в классе часто предлагается следующий вид задач по поиску угла между двумя прямыми.

Ниже приведем алгоритм решения задачи, при которой бесконечные линии на плоскости заданы уравнениями общего вида, в которых присутствует угловой коэффициент.

Обозначим прямые как (L1) и (L2). Каждая из них задается уравнением следующего вида:

А1х + В1у + С1 = 0;

Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

А2х + В2у + С2 = 0;

Зная, что нормальные вектора каждой из них имеют вид:

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Суть задачи сводится к вычислению угла φ, образованного нормальными векторами.

Используем определение скалярного произведения векторов:

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

и координатное выражение их длин, а также их скалярное произведение:

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

В практических задачах по математике часто требуется найти не сам угол между пресекающимися прямыми, а составить уравнение их всех, при условии, что прямые пересекаются между собой.

Так, если прямые заданы уравнениями общего вида с коэффициентами, то

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Последнее равенство часто называют уравнением биссектрис углов, образованных в результате пересечения прямых. Понятие «биссектриса» в геометрии – это некое геометрическое место точек, которые удалены на одинаковое расстояние от сторон угла.

Если прямые задаются уравнениями, включающими угловой коэффициент, который определяется тангенсом угла, найти значение углов, образованных при их пересечении, достаточно просто:

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Рис. 2 Углы, образованные пересечением двух прямых на плоскости

 

tan α = k1;

tan β = k2;

где k1 и k2 – те самые угловые коэффициенты.

Следовательно, чтобы вычислить значение γ, следует применить формулы:

γ = α – β

tan γ = tan (α – β)

Решение очевидно:

Угол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач

Предыдущая
АлгебраКвадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол
Следующая
АлгебраПересечение и объединение множеств - свойства, операции и примеры решения
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить