Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Раздел «Квадратичная функция», ее свойства и график проходят в средней школе в 8 – 9 классах. Но не все учителя объясняют доступно. А вышедшим из ученического возраста может понадобиться обновить познания. 

Поэтому рассмотрим простые примеры построения графиков квадратичной функции.

Определение и формула квадратичной функции

Квадратичной называют функцию канонического вида:

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

  • a, b – коэффициенты;

  • с – свободный член.

Формально конструкция именуется «квадратный трехчлен». Сразу заметно, что область определения не ограничена, а четность не выявлена.

Примеры построения парабол

Займемся упрощенными случаями и подметим закономерности.

График функции при а = 1, b = c = 0

Наиболее тривиальная, но наглядная и информативная разновидность с формулой:

y = x2

Функция четная, возрастающая. Построим по точкам.

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Получившаяся кривая называется «парабола». Характерна для уравнений с «квадратом».

Нижнюю точку с координатами (0; 0) называют «вершиной». Единственное место, где одной функции соответствует один аргумент. В данном случае – это минимум функции.

Уходящие вверх части кривой – «ветви». На всех участках кроме вершины к одному (y) относятся сразу (±x).

Вывод: ветви данной параболы имеют ось симметрии – вертикальную прямую ординат Y.

График функции, когда b = c = 0, а > 1 и а < 1

Кривая задается, например, так:

y = 2x2

Ветви «сожмутся» относительно оси симметрии.

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Построим другой график.

y = 0,5x2

Ветви «разойдутся».

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Куда интереснее переместить коэффициент a в отрицательную область.

y = -x2

Парабола «повернется» на 180°. И вершина станет максимумом.

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

График функции при b = 0, с ≠0

Рассмотрим такой вариант:

y = x2 + 1

Вершина сдвинется на величину c по оси Y.

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

А если параметр c отрицателен? Уравнение выглядит так:

y = x2 – 1

Смещение произойдет ниже точки (0; 0).

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Общий случай a ≠0, b ≠0, c ≠0

Попробуем найти характерные точки.

Пересечения с осью абсцисс (y = 0)

Иными словами, следует решить уравнение:

ax2 + bx + c = 0

Корнями уравнения будут:

Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

Подкоренное выражение называется «дискриминант» и обозначается «D». Появляются варианты:

  • D отрицателен, D > 0. В таком случае действительные корни не существуют. Парабола не пересекает ось Х.

  • D положителен, D > 0. Существуют оба корня. Кривая пересекает X в двух известных местах.

  • D = 0. Корень один – -b/2a. Пересечение единственно. А такое возможно в одном случае: найденное означает абсциссу вершины.

  • Вершина

    Горизонтальная координата вычисляется по формуле:

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

    Вертикальная:

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

    Касательная в вершине параболы совпадает с осью X или параллельна ей. Значит тангенс её относительного наклона равен 0. А это производная функции:

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

    Нашли x0, а y0 находится подстановкой в уравнение найденного.

    Ось симметрии

    Параллельная оси ординат прямая x = x0.

    Приблизительный вид

    По уравнению можно прикинуть общую картину:

    • положительное значение коэффициента a говорит о направленности ветвей вверх и наоборот;

    • по дискриминанту определим расположение относительно X;

    • находим пересечения (если есть).

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

    Пример построения графика

    Дано:

    y = x2 + 2x – 3

    Проанализируем:

    • a = 1, положительный, поэтому ветви параболы направлены вверх;

    • b = 2;

    • с = -3.

    Алгоритм построения графика квадратичной функции:

    1. Находим вершину:

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

    2. Определяем точки пересечения с осью X:

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

    3. Посчитав еще 2 – 3 точки правее и левее оси симметрии x = -1, получим достоверный график.

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол 

    Свойства параболы

    Квадратичная функция определение, свойства, формулы, уравнения и знаки корней, алгоритм построения графиков по заданным параметрам, примеры парабол

    Основные свойства следующие:

  • Область определения – все действительные числа.

  • Вершина является минимумом при положительном коэффициенте x2, максимумом – при отрицательном.

  • Координаты вершины зависят только от коэффициентов.

  • Ось симметрии проходит через вершину и параллельна оси ординат.

  • Заключение

    В интернете существует масса онлайн-калькуляторов для облегчения работы с кривой. Приведенные же приемы и перечисленные свойства позволяют лучше понять сущность квадратичного выражения.

    Параболические отражатели позволяют получать параллельный пучок света от точечного источника. Антенна такого типа позволяет концентрировать и усиливать радиосигнал. Не абстрактная линия на бумаге.

    Предыдущая
    АлгебраГипербола определение, свойства и виды, каноническое уравнение, формула нахождения фокуса, алгоритмы и примеры построения графика функции
    Следующая
    АлгебраУгол между прямыми определение, формула нахождения между скрещивающимися прямыми, методы и примеры решения задач
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Добавить комментарий

    4 + 15 =

    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить