Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

В данной статье речь пойдет об основных понятиях эквивалентных функций, с помощью которых можно найти значение пределов. 

Понятие эквивалентности поменяется не только в высшей математике, но и в логике, психологии, при переводах с иностранных языков. Оно означает «равнозначность», «равносильность», «равенство». 

Определение эквивалентных функций

Эквивалентные функции – это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если при x1, стремящимся к x2, f(x)~f1(x) и g(x)~g1(x) существует предел:

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

то существует и предел:

 Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

Доказательство

Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

при этом:

f(x) ~ f1(x), p(x) ~ p1(x), … , r(x) ~ r1(x), g(x) ~ g1(x), q(x) ~ q1(x), … , s(x) ~ s1(x).

Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй. 

Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно. 

Таблица эквивалентных функций

Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x0: 

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

Эквивалентность при t → 0

Равенство при t → 0

sin t ~ t

sin t = t + 0(t)

arsin t ~ t

arsin t = t + 0(t)

tg t ~ t

tg t = t + 0(t)

artg t ~ t

artg t = t + 0(t)

1-cos t ~ Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

1-cos t = Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица + 0(t2)

et – 1 ~ t

et – 1 = t + 0(t)

at – 1 ~ t ln a

at – 1 = t ln a + 0(t)

ln (1 + t) ~ t

ln (1 + t) = t + 0(t)

loga (1 + t) ~ Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

loga (1 + t) = Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица + 0(t)

(1 + t)b – 1 ~ bt

(1 + t)b – 1 = bt + 0(t)

sh t ~ t

sh t = t + 0(t)

arsh t ~ t

arsh t = t + 0(t)

th t ~ t

th t = t + 0(t)

arsh t ~ t

arsh t= t + 0(t)

ch t – 1 ~ t2/2

ch t – 1 ~ t2/2 + 0(t2)

Всегда ли можно сделать замену функций эквивалентными?

Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел. 

В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Вычислить

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица 

Начнём решение, учитывая, что tg2x ~ 2x, sin3x ~ 3x при x → 0, тогда

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица 

Пример 2

Найти

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

Значит, arcsin x ~ x при x → 0. 

Пример 3

Вычислить

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица

Решение: если sin (15x) ~ 15x, tg (10x) ~ 10x, тогда

Эквивалентные функции определение, формулы, основные свойства, доказательство теоремы о замене функций, примеры нахождения пределов, таблица 

Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.

Предыдущая
АлгебраРазряды чисел в математике классы и их названия, использование десятичной системы исчисления целых чисел и десятичных дробей, таблица, примеры решения задач
Следующая
АлгебраГипербола определение, свойства и виды, каноническое уравнение, формула нахождения фокуса, алгоритмы и примеры построения графика функции
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Добавить комментарий

восемь + 4 =

Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить