Описание и решение неравенств с двумя переменными

Для формулирования и разрешения многих проблем, при моделировании процессов, выборе приемлемых результатов в окружающей действительности, в науке целесообразно использовать неравенства. Действия над уравнениями, где со знаком равенства определяются функциональные зависимости (y от x), позволяют решать неравенства с двумя переменными, но с несколькими присущими особенностями.

Определение и примеры неравенств с двумя переменными

Соотношение между алгебраическими выражениями (функциями с переменными x, y), которое указывает, что одно больше или меньше другого, называют неравенством.

Описание и решение неравенств с двумя переменными

Неравные соотношения различают строгие (>, <) и нестрогие (≥, ≤), простейшие (х≥0, y≤0), линейные (прямые) и нелинейные (например, со степенями). Решение с одним переменным отмечают на числовой оси. По аналогии можно решать неравенства с двумя переменными, но использовать две оси (x, y) на координатной плоскости; поскольку решения (пары действительных чисел) определяют область (множество) точек на этой плоскости.

Пример двух линейных нестрогих и одного строгого отношения:

. X-3y≥-12, 4x+3y≤27, 2x+2y>0.

Квадратичные неравенства с 2 переменными:

y-x^2≥0, х^2 – 8х + 12< y.

Искать ответ можно несколькими способами; прежде всего, решить уравнение, определенное неравенством, используя методы преобразования, разбить оси по данным решения на предполагаемые участки, определить верные интервалы, пользуясь методом «подопытной» точки.

Описание и решение неравенств с двумя переменными

Сколько и какие могут быть решения?

Если по условию несколько неравенств объединены в систему, то для выводов решается каждое отдельно. По результатам находится область их пересечения (множество решений может быть открытым бесконечным, либо ограниченным), или же «перекрытие» решений отсутствует. При упрощении выражений используются способы преобразований уравнений. Идеи преобразований неравенств в системе надо суметь догадаться «увидеть».

Система неравенств не имеет решений, в случае отсутствия таковых у одного из неравенств. Если у неравенства выполняется условие для любого значения аргумента, тогда решением системы является решение в других соседних неравенствах.

Существует несколько методов решения:

  • Геометрически, с построением точек в четырех квадрантах плоскости координат по их ординатам и абсциссам.

  • Для квадратного неравенства используют разложение на множители с найденными корнями и

определяют необходимые участки методом интервалов.

  • Иногда решают способом через оценку получившегося знака разности. Для этого выполняют вычитание частей неравенства и приводят доказательства требуемого знака (>, <, ≥, ≤).

  • Применяют общеизвестное доказательство методом «от противного» (истина, ложь). Предполагают противоположное требуемому изначально доказательству (хотя бы одни переменные делают его истинным). Если преобразования приведут к ложному неравенству, то сделанное предположение неверное, но верно изначальное.

  • Доказывают неравенства «синтетическим» методом, преобразуя известные неравенства (опорные) до требуемого.

Примеры решения неравенства с двумя переменными

Предыдущая
АлгебраОписание степенных функций: виды, свойства, графики
Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
Плохо
0
Хорошо
0
Супер
0
Спринт-Олимпик.ру
Мы в ВК, подпишись на нас!

Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

Вступить
×