Последовательность чисел Фибоначчи: суть и применение в математике

Царице математике – одной из вечных обучающих и прикладных наук, послужило много мудрых, одержимых творцов. В теорию чисел, множеств, комбинаторику привнес немалый вклад Леонардо Пизанский. Вызывают интерес и любопытство загадки золотого сечения – гармонических пропорций в окружающем мире. Числа Фибоначчи раскрывают тайны и закономерности отношений в различных явлениях со времени открытия и до современности.

Что такое ряд чисел Фибоначчи

Последовательность чисел Фибоначчи: суть и применение в математике

Математик Леонардо Фибоначчи с итальянского «Сын Добряка» приводит в 1202 году закономерную бесконечную последовательность интересных чисел. Каждый следующий элемент (натуральное число) — сумма двух впереди стоящих элементов:

1   +              
    1    +            
       = 2    +          
         = 3    +        
           = 5    +      
             = 8    +    
               = 13   +  
                 = 21, 34, 55, 89, 144,…

Формула получения элемента m последовательности Фибоначчи: L(m) = L(m-1) + L(m-2), где m любой натуральный целый индекс. Поэтому элементы ряда четные следуют через 2 элемента нечетных (сумма 2-ух нечетных равна четному, а четного с нечетным равна нечетному).

В ряду натуральных чисел, первые два — единицы, но иногда применяется это множество, начинающееся с 0 и 1.

Некоторые удивительные математические свойства элементов ряда:

  • Частное от деления двух соседних чисел в ряду сходится (с увеличением m) и приближается к уникальному показателю 1,618 золотому сечению.
  • Число L(m) будет простым только для простых индексов (исключение m=4). Например, число 233 простое и m=13 тоже простое (но не наоборот).
  • В числах Фибоначчи прояляется закономерность: с периодом 60 повторяются последние цифры, а пара последних цифр чисел последовательна в цикле с периодом триста.
  • Числа Фибоначчи — это также суммы чисел по «мелким» диагоналям знаменитого треугольника Паскаля, как одно из его многочисленных свойств.
  • Задача с кроликами

    На подсчет элементов забавной числовой последовательности Фибоначчи натолкнули плодовитые кролики. Ученый не изучает явление со всех сторон сразу. Определяются начальные характерные условия, ограничивается круг основных влияющих факторов, а незначительные опускаются, допускаются поправки. Так составили знаменитую задачу про биологически нереальное размножение кроликов, суть излагается не дословно.

    В доме появилась пара маленьких крольчат, мальчик и девочка. Нужно определить, сколько пар зверушек будет через 12 месяцев. Надо учесть, что в первый месяц жизни они бездетны. Пара малюток первых (самка и самец) прибавляется во 2-ой месяц, а уже дальше парочки длинноухих ежемесячно нарождаются. Кролики не умирают, а превышающая плодовитость не учитывается.

    Последовательность чисел Фибоначчи: суть и применение в математике

    Для упрощения обозначения можно принять месяц – м., число пар кроликов – это =1. Решается последовательно по шагам, пока математик не подметил закономерности чисел:

    • 1 м. пара маленьких=1.
    • 2 м. только первая пара= 1.
    • 3 м. парочка дала приплод 1 пару=2.
    • 4 м. старые двое рождают новую двойню, второй парочке еще рановато=3.
    • 5 м. первая парочка приносит ещё пару, вторая плодит новую двойню, третьей паре рано=5.
    • 6 м. 5+3=8, 55+34=89(11), 89+55=144(12)

    По ежемесячным результатам получились числа Фибоначчи. После 12 месяцев расплодится длинноухих 144(12м.)+89(11м.)=233 пары. Получилась первичная модель экспоненциального роста кроличьей популяции. Сформулированная и решенная задача считается основным вкладом Фибоначчи в развитие комбинаторики.

    Рекурсия и числа Фибоначчи в математике

    Предыдущая
    АлгебраЧисловые выражения - формулы, примеры и алгоритм решения в 7 классе
    Следующая
    АлгебраОписание степенных функций: виды, свойства, графики
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Спринт-Олимпик.ру
    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить
    ×