Числовые выражения – формулы, примеры и алгоритм решения в 7 классе

Основой математики являются числовые выражения. В 7 классе они изучаются подробнее, поскольку к ним применяются специальные методики, позволяющие выполнять операции упрощения. Последние используются для оптимизации вычислений при решении задач по различным дисциплинам с физико-математическим уклоном. Однако специалисты рекомендуют изучить теорию, которая поможет избежать множества ошибок при расчетах величин.

Числовые выражения - формулы, примеры и алгоритм решения в 7 классе

Общие сведения

Многие начинающие математики часто путают два понятия: числовые и алгебраические выражения. Между ними существует разница, которая заключается в определениях. Числовое выражение — вид математического тождества, состоящего только из чисел, скобок и знаков арифметических операций. Например, тождество «5+8/3−4*2» является числовым выражением. Оно означает последовательность математических знаков, объединенных в одну логическую цепочку.

Алгебраическим называется совокупность переменных и числовых выражений, имеющих логическое завершение. Объяснение смысла логики выражения имеет такой вид: совокупность чисел и переменных, связанных между собой арифметическими операциями умножения, деления, сложения и вычитания. Например, выражение «5t-2/3» — алгебраическое, поскольку в нем присутствует переменная «t».

Математическим выражением не является набор символов, не имеющий логического завершения. Например, 234±4678++* – обыкновенный ряд, который можно составить из цифр и знаков арифметических операций. Последние имеют следующие обозначения:

Числовые выражения - формулы, примеры и алгоритм решения в 7 классе

  • * — произведение.
  • / — деление.
  • + — сложение.
  • — — вычитание.
  • Произведение — вид арифметической операции, позволяющей умножить одну величину на другую. Она состоит из трех основных элементов. К ним относятся: I множитель, II множитель и произведение (результат). Математики утверждают, что для сокращения сложения применяется умножение, то есть 3+3+3+3+3+3=3*6=18. Если рассчитать оба выражения, то они будут равными между собой.

    Деление — арифметическая операция, используемая для поиска сомножителей искомого числа. Она состоит из следующих обязательных компонентов: делимого, делителя и частного. Первый элемент — составное значение, второй — один из множителей первого, а частное — результат операции деления.

    Сложение — простейшая арифметическая операция, составление которой осуществляется минимум из трех элементов и позволяющая увеличивать искомую величину на определенное значение. Компоненты имеют следующие названия: два слагаемых и результат, который называется суммой.

    Вычитание — операция, необходимая для уменьшения искомого числа на заданную величину. Она состоит из трех компонентов: уменьшаемого, вычитаемого и разности. Первое — числовое значение, от которого отнимается вычитаемое.

    Однако у каждой операции есть определенный приоритет.

    Приоритет операций

    При вычислении математических выражений существует определенный приоритет арифметических операций. Сначала выполняются умножение и деление. Они обладают максимальной величиной приоритета. Иногда для оптимизации вычислений можно выполнять действие над числами или переменными в любой последовательности, то есть пример «2*26/13» можно решить двумя способами:

    Числовые выражения - формулы, примеры и алгоритм решения в 7 классе

    Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!
  • (2*26)/13=52/13=4.
  • 2*(26/13)=4.
  • В первом случае операция займет больше ресурсов: сначала требуется 2 умножить на 26, высчитать результат, а затем его поделить на 13. Это не слишком удобно. Однако для оптимизации вычислений рекомендуется применять второй способ, поскольку особого труда не составляет 26 разделить на 13, а затем результат перемножить с двойкой.

    Сложение и вычитание имеют также одинаковый уровень приоритета. Можно сначала для удобства выполнить сложение, а затем вычитание или наоборот. Специалисты рекомендуют руководствоваться важным принципом: вычисления должны быть максимально упрощены. Чтобы задать приоритет какому-либо математическому действию, необходимо взять часть выражения в скобки (сгруппировать). В результате этого первой будет выполняться операция, находящаяся в скобках.

    Для примера нужно найти значение выражения: 2*2−2 (3−2)*7/14−25/5. Решать его правильно по такой методике с учетом приоритета:

  • 3−2=1.
  • 1*2*7/14=1.
  • 2*2=4.
  • 25/5=5.
  • 4−1−5=2.
  • Если не учитывать приоритет выполнения операций, то найти значение числового выражения можно по такой схеме:

  • 2*2=4.
  • 4−2=2.
  • 2*1=2.
  • 2*7/14=1.
  • 1−25=24.
  • 24/5=4,8.
  • Если сравнить два результата, то они не совпадают. На основании этого можно сделать вывод, что приоритет имеет значение при выполнении вычислений и нарушать его нельзя, поскольку исчезнет логика выражения. Однако не только скобки позволяют установить очередность операций. Существуют некоторые исключения.

    Частные случаи или исключения

    В алгебре, как и во всех дисциплинах с физико-математическим уклоном, учитывается скорость вычислений. Это существенно влияет на время выполнения какого-либо задания. В некоторых случаях выражение можно упростить, используя формулы сокращенного умножения и выполняя математические преобразования с элементами тождества. Для этих целей рекомендуется пользоваться соответствующими правилами:

    Числовые выражения - формулы, примеры и алгоритм решения в 7 классе

  • Если выражение представлено в виде дробного рационального тождества, то следует вынести общий множитель, а затем сократить на него.
  • Необходимо применять формулы сокращенного умножения.
  • Раскрытие скобок и приведение подобных компонентов выполняется в том случае, когда в этом есть необходимость.
  • Числовое выражение необходимо вычислять, а алгебраическое — приводить к простой форме.
  • Следует отметить, что в первом случае обязательно требуется проверить равенство знаменателя нулевому значению. Для этого следует указать величину переменной, которая не должна превращать знаменатель в 0.

    Методика вычисления

    Математики разработали специальную методику нахождения значения выражения. Она сводится к разбиению числового выражения на части. Этот подход впервые использовал Пифагор. Суть его состоит в следующем:

  • Разбить тождество на части, обозначив каждую из них определенной литерой.
  • Найти величину каждого компонента.
  • Вычислить окончательный результат.
  • Для демонстрации алгоритма необходимо решить пример: 9*7−21 (74/(43+31))/7−64-(27−3*9). Практическая реализация методики имеет следующий вид:

    Числовые выражения - формулы, примеры и алгоритм решения в 7 классе

  • Разбить тождество по частям: K=9*7, L=(74/(43+31))/7, M=21, N=64, O=27−3*9.
  • Записать в полной форме с учетом замен: K-L*M-N-O.
  • Вычислить первый элемент: К=63.
  • Найти II компонент: L=1/7.
  • Рассчитать III и II: 21/7=3.
  • Найти О: О=0.
  • Определить результат, подставив в выражение замен найденные величины: 63−3−64−0=-4.
  • Следует отметить, что этот алгоритм позволяет реализовать принцип «дробления» задания на несколько компонентов. Разбивать тождество можно в произвольном порядке.

    Таким образом, для расчета значения числового выражения нужно воспользоваться специальным алгоритмом, который позволит существенно оптимизировать вычисления.

    Предыдущая
    АлгебраАлгебра как наука - история появления, классификация раздела и понятия
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить