Уравнения с параметром – алгоритмы и примеры решения

В алгебре и других дисциплинах с физико-математическим уклоном существует вид уравнений с параметром, решение которых осуществляется по определенной методике. Чтобы к ней перейти, необходимы некоторые базовые знания нахождения корней тождеств с неизвестными. Математики рекомендуют изучить теоретические основы, а после этого переходить к их практическому применению во время решения задач.

Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

Общие сведения

Уравнением является любое математическое тождество или физический закон, в котором присутствуют неизвестные величины. Последние необходимо находить. Этот процесс называется поиском корней. Однако не во всех случаях у равенства с переменными бывают решения, а это также нужно доказать.

Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

Корень — величина или диапазон, превращающие искомое выражение в верное равенство. Например, в 5s=10 переменная эквивалентна 2, поскольку только это значение позволяет получить верное тождество, то есть 5*2=10.

Примером диапазона или интервала решений является выражение следующего вида: 0/t=0. Его корнем может быть любое действительное число, кроме нуля. Записывается решение в таком виде: t ∈ (-inf;0)U (0;+inf), где «∈” — знак принадлежности, «-inf» и «inf» — минус и плюс бесконечно большие числа соответственно.

Параметром в уравнении называется некоторая величина, от которой зависит поведение равенства на определенном интервале. Следует отметить, что он также влияет на значение корня, когда входит с ним в различные арифметические операции: сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень и так далее. Тождества такого типа называют также параметрическими. Далее необходимо разобрать классификацию уравнений.

Классификация уравнений

Уравнения делятся на определенные виды, от которых зависит выбор методики их решения. Они бывают следующими: алгебраическими, дифференциальными, функциональными, трансцендентными и тригонометрическими. Кроме того, все они могут содержать некоторую величину — параметр. Его часто обозначают литерой «р» или «а».

Алгебраический тип является наиболее простым, поскольку не содержит сложные элементы. Дифференциальные тождества с неизвестными — одни из самых сложных выражений с точки зрения алгоритма. Они бывают первого, второго, третьего, а также высших порядков. Для нахождения их корней необходимо знать правила дифференцирования и интегрирования.

Практически все функциональные уравнения содержат один или более параметров. Основное их отличие от остальных заключается в функции, которая задается сложным выражением. Последнее может включать несколько неизвестных и параметрических элементов. Примером такого тождества является функция Лапласа, содержащая интеграл обыкновенного типа, а также экспоненту.

Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

К трансцендентным относятся выражения, содержащие показательную, логарифмическую и радикальную (знак корня). Последний тип — тригонометрические. Они содержат любое равенство, содержащее следующие функции: sin, cos, tg и ctg. Однако в математике встречаются также их производные: arcsin, arccos, arcctg, arctg и гиперболические тождества.

Специалисты рекомендуют освоить на начальных этапах обучения методики, позволяющие решать уравнения с параметром линейного типа. После этого можно переходить к более сложным тождествам — функциональным, трансцендентным и так далее.

Алгебраический вид

Алгебраические не содержат в своем составе сложных функций, но в них могут присутствовать компоненты со степенным показателем.

Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

На основании последней характеристики они делятся на 5 типов:

  • Линейные.
  • Квадратные (квадратичные).
  • Кубические.
  • Биквадратные.
  • Высших порядков.
  • Линейные — выражения с переменной, которая имеет только первую степень (равную единице). Если показатель эквивалентен двойке, то такое тождество называется квадратным. В математической интерпретации его еще называют квадратным трехчленом. Когда показатель при неизвестной эквивалентен тройке, тогда это равенство называется кубическим.

    Наиболее сложными по своей структуре являются биквадратные (содержат 4 степень). Однако на этом виды линейных уравнений не заканчиваются, поскольку бывают равенства с более высокими показателями. Их называют уравнениями высших порядков. Кроме того, любые тождества могут объединяться в системы уравнений. Их особенностью являются общие решения.

    Нужна помощь в подготовке к ЕГЭ по математике? Наши профессиональные репетиторы помогут вам сдать ЕГЭ на 80+ баллов!

    Линейные и квадратичные

    Линейное — это самое простое уравнение, которое имеет всего одно решение. Оно решается по следующей методике:

    Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

  • Записывается искомое выражение.
  • При необходимости раскрываются скобки и приводятся подобные элементы.
  • Неизвестные (переменные) остаются в левой части тождества, а все константы (числа) — переносятся вправо.
  • Правая часть сокращается на коэффициент при неизвестной.
  • Записывается результат.
  • Выполняется проверка посредством подстановки корня в исходное выражение.
  • Следует отметить, что линейное выражение с переменной может не иметь решений, поскольку иногда невозможно выполнить операцию сокращения. Например, 0t=85. Равенство не имеет корней, поскольку на нулевое значение делить нельзя, так как при этом получается пустое множество.

    Следующим типом является уравнение квадратичной формы At2+Bt+C=0. Оно может иметь один или два решения. Однако бывают случаи, при которых корней нет вообще. Для получения результата вводится понятие дискриминанта «D=(-B)^2−4*А*С». Для решения следует воспользоваться следующим алгоритмом:

    Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

  • Записать выражение.
  • Выполнить при необходимости математические преобразования по раскрытию скобок и приведению подобных слагаемых.
  • Вычислить значение D (D<0 — корней нет, D=0 — один корень, D>0 — два решения).
  • При D=0 формула корня имеет такой вид: t=-В/(2А).
  • Если D>0, то решения определяются по следующим соотношениям: t1=[-В-D^(½)]/(2А) и t2=[-В+D^(½)]/(2А).
  • Записать результат.
  • Выполнить проверку по отсеиванию ложных корней.
  • Следует отметить, что ложный корень — значение переменной, полученное по соответствующей формуле, но при подстановке в исходное выражение не выполняет условие равенства нулевому значению.

    Кроме того, нужно обратить внимание на типы квадратных уравнений. Они бывают полными и неполными. Первые содержат все коэффициенты (А, В и С), а во вторых — некоторые из них могут отсутствовать, кроме А, так как тогда тождество должно содержать вторую степень при неизвестной.

    Неполные решаются методом разложения на множители. Например, «v2 −81=0» раскладывается следующим образом (формула сокращенного умножения — разность квадратов): (v-9)(t+9)=0. Анализируя последнее равенство, можно сделать вывод о понижении степени. Корнями уравнения являются два значения, t1=-9 и t2=9.

    Кубичеcкие и биквадрaтные

    Кубические и биквадратные равенства с неизвестным рекомендуется решать при помощи замены переменной. Однако в некоторых случаях можно применить формулы понижения степени или разложения на множители. Иными словами, суть решения алгебраических уравнений, степень которых превышает двойку, сводится к ее понижению различными методами.

    Замена переменной производится на другую неизвестную величину. В примере (t3−2)+2t3−4=0 можно ввести следующий элемент — v=t3−2. В результате этого получится равенство такого вида: v+2v=0. Оно решается очень просто:

    Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

  • Приводятся подобные элементы: 3v=0.
  • Находится корень: v=0.
  • Приравнивается к выражению, которое заменяли: t3−2=0.
  • Находится корень (один, поскольку у радикала нечетная степень): t=[2]^(1/3).
  • Проверяется условие: 2^(1/3)^3−2+2*(2^(1/3)^3)-4=4−4=0 (истина).
  • Биквадратные тождества решаются таким же методом. Однако существует еще один способ — разложение на множители. Его необходимо разобрать на примере решения выражения «4m4 −324=0». Решать нужно по такому алгоритму:

  • Упростить (вынести четверку за скобки и сократить на нее): 4 (m4 −81)=m4−81=0.
  • Разложить на множители (разность квадратов): (m2−9)(m2+9)=(m-3)(m+3)(m2+9)=0/
  • Решить три уравнения: m1=3, m2=-3, m3=-3 и m4=3.
  • Результат: m1=-3 и m2=3.
  • Проверка: 4*(-3)^4−324=0 (истинно) и 4*(3)^4−324=0 (истинно).
  • Каждый из методов решения выбирается в зависимости от самого уравнения. При чтении условия задачи необходимо определить способ решения. Последний должен быть простым и удобным, а главное — количество шагов решения должно быть минимальным, что существенно сказывается на затраченном времени при вычислениях. Далее нужно рассмотреть подробный алгоритм решения уравнения с параметром.

    Пример решения

    На основании изученного материала можно приступить к практике решения уравнения с параметром, которое имеет следующий вид: 2v4−32−4p-(v2 +4)+(v-2)(v+2)-v4+16=-4, где р — некоторый параметр. Корни и величину р необходимо искать по следующему алгоритму:

    Уравнения с параметром - алгоритмы и примеры решения

  • Записать равенство с неизвестным и параметром: 2v4−32−4p-(v2 +4)+(v-2)(v+2)-v4 +16=-4.
  • Выполнить математические преобразования: 2v4−32−4p-v2+4+v2−4-v4+16+4=v4−16+4p+4=0.
  • Ввести замену v4−16=m: m+4p+4=0.
  • Вывести формулу нахождения параметра: р=-(m/4)-1.
  • Подставить величину m: р=-1-(v4+16)/4.
  •  
  • C учетом соотношения равенство будет иметь такой вид: v4−16+4[-(v4+16−4)/4]+4=-32+8=0 (корней нет, поскольку -24<0).
  • Решение без учета параметра (p=0): m+4=0 (m=-4).
  • Подставить в исходное тождество замены: v4−12=0.
  • Корни: v1=[12]^(¼) и v2=-[12]^(¼).
  • Отрицательного корня v2 не существует, поскольку показатель радикала — четное число.
  • Результат: v1=[12]^(¼).
  • Проверка: {[12]^(¼)}^4−16+4=16−16=0 (истина).
  • Следует отметить, что v2 — ложный корень, а также параметр p, равный какому-либо значению, превращает уравнение в пустое множество. Для проверки можно воспользоваться специальным приложением, которое называется онлайн-калькулятором.

    Таким образом, уравнения с параметром являются наиболее сложными, поскольку необходимо искать их корни, а также некоторое значение, влияющее на логику выражения. Для их решения необходимо следовать специальному алгоритму, предложенному математиками.

    Предыдущая
    АлгебраЛинейные уравнения - алгоритмы и примеры решений с объяснением для 6 класса
    Следующая
    АлгебраАлгебра как наука - история появления, классификация раздела и понятия
    Помогли? Поставьте оценку, пожалуйста.
    Плохо
    0
    Хорошо
    0
    Супер
    0
    Мы в ВК, подпишись на нас!

    Подпишись на нашу группу в ВКонтакте, чтобы быть в курсе выхода нового материала...

    Вступить